การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

1.1  การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

         ถ้า  a , b  และ  c  แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว

               a(b + c)  =  ab + ac      หรือ        (b + c)a  =  ba + ca

         เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้

               ab + ac  =  a(b + c)      หรือ       ba + ca  =  (b + c)a

ถ้า  a , b  และ  c  เป็นพหุนาม  เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และเรียก  a  ว่า

ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac  หรือตัวประกอบร่วมของ  ba และ ca

             พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ  15x²y – 18xy²  โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้

               15x²y – 18xy²  =  3(5x²y – 6xy²)      [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]                                       
=  3x(5xy – 6y²)       [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x²y และ 6xy²]

                                        =  3xy(5x – 6y)     [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy  และ 6y²]

               ดังนั้น   5x²y – 18xy²   =  3xy(5x – 6y)

         ตัวอย่างที่ 1    จงแยกตัวประกอบของ  5xy + 6x²

         วิธีทำ             5xy + 6x²   =   (x)(5y) + (x)(6x)  

                                                =   x(5y + 6x)                                

                 ข้อสังเกต   x  เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy  และ  6x²   ดึง  x  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

         ตัวอย่างที่ 2    จงแยกตัวประกอบของ  12y²z + 20yz

         วิธีทำ             12y²z + 20yz   = (4yz)(3y) + (4yz)(5)

                                                          =  4yz(3y + 5)               

                 ข้อสังเกต  4yz  เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y²z  และ 20yz  ดึง  4yz  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

         ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  16x³y³ – 24x⁴y

         วิธีทำ            16x³y³ – 24x⁴y   = (8x³y)(2y²) – (8x³y)(3x)

                                                              =  8x³y(2y² – 3x)

                ข้อสังเกต  8x³y  เป็นตัวประกอบร่วมของ 16x³y³ และ  24x⁴y ดึง  8x³y  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

                ข้อควรระวัง

                1.  ตัวประกอบร่วมที่นำออกมานอกวงเล็บ

                2.  ต้องเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด

                3.  ถ้ายังมีตัวประกอบเหลืออยู่ต้องนำออกมาให้หมด               
               4.  ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่  ประกอบด้วย   นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 

            ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  ab -2ac + bc -2c²

            วิธีทำ             ab -2ac + bc -2c²   =  (ab – 2ac) + (bc – 2c²)

                                                              =  a(b – 2c) + c(b – 2c)
                                                              =  (b – 2c)(a + c)

                     ดังนั้น   ab -2ac + bc -2c²   =  (b – 2c)(a + c)
                 ข้อสังเกต     1.  a , c      เป็นตัวประกอบร่วม

                                   2.  b – 2c   เป็นตัวประกอบร่วม

             ตัวอย่างที่ 5   จงแยกตัวประกอบของ  5x²z – 3y + 5yz – 3x²

             วิธีทำ            5x²z – 3y + 5yz – 3x²  =   5x²z – 3x² + 5yz – 3y

                                                                    =   (5x²z – 3x²) + (5yz – 3y)

                                                                    =   x²(5z – 3) + y(5z – 3)                                                                   
                                                                   =   (5z – 3)(x² + y)

                     ดังนั้น  5x²z – 3y + 5yz – 3x²   =  (5z – 3) (x² + y)

                  ข้อสังเกต   1.  x² , y    เป็นตัวประกอบร่วม

                                  2.  5z – 3   เป็นตัวประกอบร่วม

              ตัวอย่างที่ 6   จงแยกตัวประกอบของ  mr² – 3mp + 15np – 5nr²

              วิธีทำ            mr² – 3mp + 15np – 5nr²   =   mr²– 3mp – 5nr²+ 15np

                                                                            =   (mr²– 3mp) – [(5n)r²– (3)(5n)p]

                                                                            =   m(r² – 3p) – 5n(r² – 3p)
                                                                            =   (r² – 3p)(m – 5n)

                      ดังนั้น  mr² – 3mp + 15np – 5nr²    =   (r² – 3p)(m – 5n)

                     ข้อสังเกต     1.  m , 5n  เป็นตัวประกอบร่วม

                                      2.  r² – 3p   เป็นตัวประกอบร่วม