วันศุกร์ที่ 25 พฤศจิกายน พ.ศ. 2554

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

1.1  การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง
         ถ้า  a , b  และ  c  แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว
               a(b + c)  =  ab + ac      หรือ        (b + c)a  =  ba + ca
         เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้
               ab + ac  =  a(b + c)      หรือ       ba + ca  =  (b + c)a
ถ้า  a , b  และ  c  เป็นพหุนาม  เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และเรียก  a  ว่า
ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac  หรือตัวประกอบร่วมของ  ba และ ca
             พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ  15x2y – 18xy2  โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้
               15x2y – 18xy2  =  3(5x2y – 6xy2)      [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]                                       
3x(5xy 6y2)       [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x2y และ 6xy2]
                                        =  3xy(5x – 6y)     [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy  และ 6y2]
               ดังนั้น   5x2y – 18xy2   =  3xy(5x – 6y)
         ตัวอย่างที่ 1    จงแยกตัวประกอบของ  5xy + 6x2
         วิธีทำ             5xy + 6x2   =   (x)(5y) + (x)(6x)  
                                                =   x(5y + 6x)                                
                 ข้อสังเกต   เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy  และ  6x2   ดึง  x  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา
         ตัวอย่างที่ 2    จงแยกตัวประกอบของ  12y2z + 20yz
         วิธีทำ             12y2z + 20yz   = (4yz)(3y) + (4yz)(5)
                                                          =  4yz(3y + 5)               
                 ข้อสังเกต  4yz  เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y2และ 20yz  ดึง  4yz  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา
         ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  16x3y3 24x4y
         วิธีทำ            16x3y3 24x4y   = (8x3y)(2y2) – (8x3y)(3x)
                                                              =  8x3y(2y2 3x)
                ข้อสังเกต  8x3เป็นตัวประกอบร่วมของ 16x3y3 และ  24x4y ดึง  8x3 ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา
                ข้อควรระวัง
                1.  ตัวประกอบร่วมที่นำออกมานอกวงเล็บ
                2.  ต้องเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด
                3.  ถ้ายังมีตัวประกอบเหลืออยู่ต้องนำออกมาให้หมด               
               4.  ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่  ประกอบด้วย   นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 
            ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  ab -2ac + bc -2c2
            วิธีทำ             ab -2ac + bc -2c2   =  (ab – 2ac) + (bc – 2c2)
                                                              =  a(b – 2c) + c(b – 2c)
                                                              =  (b – 2c)(a + c)
                     ดังนั้น   ab -2ac + bc -2c2   =  (b – 2c)(a + c)
                 ข้อสังเกต     1.  a , c      เป็นตัวประกอบร่วม
                                   2.  b – 2c   เป็นตัวประกอบร่วม
             ตัวอย่างที่ 5   จงแยกตัวประกอบของ  5x2z – 3y + 5yz – 3x2
             วิธีทำ            5x2z 3y + 5yz – 3x2  =   5x2z – 3x2 + 5yz – 3y
                                                                    =   (5x2z – 3x2) + (5yz – 3y)
                                                                    =   x2(5z – 3) + y(5z – 3)                                                                   
                                                                   =   (5z – 3)(x2 + y)
                     ดังนั้น  5x2z – 3y + 5yz – 3x2   =  (5z – 3) (x2 + y)
                  ข้อสังเกต   1.  x2 , y    เป็นตัวประกอบร่วม
                                  2.  5z – 3   เป็นตัวประกอบร่วม
              ตัวอย่างที่ 6   จงแยกตัวประกอบของ  mr2 3mp + 15np – 5nr2
              วิธีทำ            mr2 3mp + 15np – 5nr2   =   mr23mp – 5nr2+ 15np
                                                                            =   (mr23mp) – [(5n)r2– (3)(5n)p]
                                                                            =   m(r2 – 3p) – 5n(r2 – 3p)
                                                                            =   (r2 3p)(m – 5n)
                      ดังนั้น  mr2 – 3mp + 15np – 5nr2    =   (r2 3p)(m – 5n)
                     ข้อสังเกต     1.  m , 5เป็นตัวประกอบร่วม
                                      2.  r2 3p   เป็นตัวประกอบร่วม